08 - Normované a unitární prostory
pátek 13. května 2016
9:54
Normované a unitární prostory (základní vlastnosti a příklady, normované prostory konečné dimenze, uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady).
[link]
Lineární prostor (nebo také vektorový prostor)
Vektorový prostor (též lineární prostor, angl. vector space) je ústředním objektem studia lineární algebry, v jehož rámci jsou definovány všechny ostatní důležité pojmy této disciplíny. V jistém smyslu můžeme vektorový prostor chápat jako zobecnění množiny reálných, potažmo komplexních, čísel. Podobně jako v těchto množinách je i ve vektorovém prostoru definována operace sčítání a násobení s jistými přirozenými omezeními jako asociativita apod. Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor (angl. vector). Na vektorovém prostoru je důležité, že má lineární matematickou strukturu, tzn. dva vektory lze sečíst, přičemž tento součet je opět prvkem vektorového prostoru, a totéž platí i pro násobek vektoru. 
ℒ - neprázdná množina prvků (nazývaných body nebo vektory)
operace + (sčítání prvků) - komutativní/abelovská grupa (komutativní, asociativní, neutrální prvek (θ - nulový vektor), inverzní prvek)
operace * (násobení vektoru skalárem) - α - skalár - číslo z nějakého číselného tělesa T
ke každému skaláru α a vektoru x 𝑥∈ℒ je jednoznačně přiřazen vektor 𝛼𝑥∈ℒ 
α(βx) = (αβ)x (asociativní)
1x = x (identita)
distribuční zákony
(α + β)x = αx + βx
α(x + y) = αx + αy
prvky (vektory) x,y,...,w jsou lineárně závislé pokud existují (skalární) konstanty 𝛼, 𝛽, …, λ takové, že součet prvků vynásobených konstantami (z nichž alespoň jedna není 0) je nulový vektor
tj. prvky jsou lienárně závislé pokud se mohou navzájem vyrušit.
Dimenze
Maximální počet lin. nezávislých prvků, které lze v prostoru nalézt.
Báze prostoru
Libovolný systém 𝑛 lin. nezávislých prvků v n-dimenzionálním prostoru.
c
Normovaný lineární prostor nebo normovaný vektorový prostor je v matematice takový lineární prostor, ve kterém je každému vektoru x přiřazeno reálné číslo - norma - vyjadřující délku vektoru x, t. j. na daném lineárním prostoru je definováno zobrazení 𝒙→𝒙. Pro normu vektoru x, označovanou 𝑥, musí platit následující 3 vlastnosti:
𝑥+𝑦≤𝑥+𝑦 (trojúhelníková nerovnost)
Norma je v klasickém vektorovém prostoru = délka vektoru
Každý normovaný prostor je metrický (𝝔𝒙,𝒚=𝒙−𝒚)
Skalární součin (to je ta věc, co se učí ve fyzice)
[link]
Často je výhodné definovat normu pomocí skalárního součinu. 
zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár)
Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je
z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů 𝑢, 𝑣 součin velikosti vektoru 𝑢 a velikosti průmětu 𝑣 do směru vektoru 𝑢, tzn. - 𝒖⋅𝒗=𝒖𝒗𝐜𝐨𝐬𝜶
Kde 𝛼 je úhel, který svýrají vektory 𝑢 a 𝑣.
V případě, že je na lineárním prostoru definována norma shodná s normou definovanou pomocí skalárního součinu, nazývá se daný lineární prostor prostorem unitárním. Pokud je metrický prostor odpovídající danému normovanému lineárnímu prostoru úplný, nazývá se daný normovaný lineární prostor jako Banachův prostor. Pokud je úplný metrický prostor odpovídající danému unitárním prostoru unitární, nazývá se daný unitární prostor jako Hilbertův prostor.
Příklad: reálný n-rozměrný lineární prostor
ℒ - n-tice reálných čísel
T - reálná čísla
Kvadratická norma
Normovaný prvek (normovaný vektor)
Prvek pro který platí 𝑥=1
Každý vektor lze normovat jeho vynásobením 1𝑥
V případě, že je na lineárním prostoru definována norma shodná s normou definovanou pomocí skalárního součinu, nazývá se daný lineární prostor prostorem unitárním
Úplný unitární prostor se nazývá Hilbertův.
Nezapomenout, že na úplném metrickém prostoru konverguje Cauchyovská posloupnost. 
Reálný unitární prostor bývá také označován jako prostor se skalárním součinem.
Prostory se skalárním součinem, které mají konečnou dimenzi, bývají označovány jako euklidovské prostory.
Side notes
Eukleidovský prostor
Eukleidovský prostor je, historicky vzato, prostor splňující Eukleidovy axiomy. Laicky řečeno jedná se o běžný prostor, v kterém jsme zvyklí vytvářet si svoje geometrické představy. Pojem eukleidovského prostoru tak přešel z geometrie do fyziky i do algebry.
V lineární algebře se obvykle definuje jako konečněrozměrný unitární prostor nad množinou reálných čísel.
Vlastnosti
Eukleidovský prostor dimenze n se obvykle značí 𝐸𝑛.
Eukleidovský prostor je unitární prostor, a proto je na něm definován skalární součin.
Zavedeme-li v n-rozměrném eukleidovském prostoru kartézskou soustavu souřadnic, pak vzdálenost d mezi dvěma body X a Y o souřadnicích 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛,(𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛) je určena vztahem
Euklidovská norma
Je odmocnina ze součtu druhých mocnin souřadnic vektoru:
Prř.: mějme vektory 𝑎=(1,2) a 𝑏=2,3
Btw: tento výsledek není to co 𝑎−𝑏 !!!
[link]
Skalární součin
𝑎⋅𝑏=1∗2+2∗3=8
[link])
Úplné unitární prostory, Fourierovy řady
Zobecnění vyjádření prvku unitárního prostoru v prostorech s nekonečnou dimenzí
Fourierovy koeficienty
𝜑1,𝜑2,… je ortonormální systém v unitárním proostru nekonečné dimenze.
Každý prvek 𝑓 lze vyjádřit jako řadu Fourierových koeficientů 𝑐 tak, že platí
n-tý fourierův polynom
Je n-tý částečný součet fourierovy řady
Fourierova řada
Řada fourierových polynomů (posloupnost částečných součtů)
-------------------BULLSHIT ALERT----------------------------------
uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady: [link]
Notes
1. Otazka (předmět) (okruh): 8. Normované a unitární prostory.
Kdo me primarne zkousel: Vojnar
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli: Chcel len základné definície + príklady. Na začiatku blackout, Vojnar to zo mňa ťahal ako z chlpatej deky, dosť pomáhal, zaslúžené E.
From <[link]> 
2. Otazka (okruh): Normované a unitární prostory
Kdo me primarne zkousel: Vojnar Tomáš, prof. Ing., Ph.D.
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli: Tak toto uz nebola sranda. MAT som sa ucil, ale z tejto otazky som fakt vela nevedel. Povedal som nejaky uplne najzakladnejsi zaklad a aj tam som sa zmylil, takze to prebral pevne doruk Vojnar. Pomahal mi ako sa dalo, v urcitom momente mi diktoval, co mam napisat na tabulu. Fakt bol skvely a popri tom ako ma navadzal mi vela veci aj doslo. Konkretne chcel z akych algebier sa skladaju normovane priestory, pravidla, ktore platia pri operaciach nasobenia a scitania, norma a pravidla, ktore platia u nej, normovany prvok a ako by som vypocital normu v eukleidovskom pristore. Nakoniec uzasne D.
From <[link]> 
Normované a unitární prostory (normované prostory konečné dimenze, uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady).
Kdo me primarne zkousel: Vojnar Tomáš, doc. Ing., Ph.D.
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli: chtěl základ, o co se jedná. jaká je vazba mezi prostorem a tělesem. pak co to je norma a jaké axiomy zde platí. Co platí v uniárních prostorech. Nakonec příklad normovaného prostoru s výpočtem normy (euklidovský, pytágorovka).
Známka A (trochu nechápu, čekal jsem neco horsího. Vojnar maximálně hodný. naváděl k cíli).
From <[link]> 