04 - Základní algebraické metody
pátek 13. května 2016
9:44
Základní algebraické metody (podalgebry, homomorfismy, přímé součiny, kongruence a faktorové algebry, normální podgrupy a ideály okruhů).
[link]
Relace
Relace 𝑅 na množině 𝑀 je podmnožina kartézského součinu αM=M×M×…×M
𝐑⊆𝐌
U binárních relací místo 𝑥,𝑦∈𝑅 píšeme 𝑥𝑅𝑦 (např.: x=y, x<y, ...).
Univerzální relace: 𝛼𝑀=𝑀×𝑀 (každý s každým).
Identická relace: 𝑖𝑀={(𝑥,𝑥)|𝑥∈𝑀} (relace rovnosti - pouze každá sám na sebe).
Reflexivní relace: ∀𝑥∈𝑀:𝑥𝑅𝑥 (každý prvek sám na sebe)
Symetrická relace: ∀𝑥,𝑦∈𝑀:𝑥𝑅𝑦⇒𝑦𝑅𝑥 (všechny vztahy obousměrně)
Antisymterická relace: ∀𝑥,𝑦∈𝑀:𝑥𝑅𝑦∧𝑦𝑅𝑥⇒𝑥=𝑦 (žádný vztah obousměrně)
Tranzitivní relace: ∀𝑥,𝑦,𝑧∈𝑀:𝑥𝑅𝑦∧𝑦𝑅𝑧⇒𝑥𝑅𝑧 (pokud existuje spojnice spojíme také)
Relace ekvivalence je reflexivní, symetrická a tranzitivní. (rozdělění na několik ekvivalentních podmnožin) (Pozn. ekvivalenci lze definovat funkcí tak, že prvky jsou ekvivalentní, pokud pro ně daná funkce dává stejný výsledek.)
Kongruence je speciální případ relace ekvivalence. 
Relace částečného neostrého uspořádání (≤) je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. (prvky lze porovnávat)
Podalgebry
Podalgebra
Množina hodnot podalgebry je podmnožinou hodnot nad-algebry.
Všechny operace jsou na množině hodnot podalgebry uzavřené (tj. jejich výsledky spadají do stejné podmnožiny hodnot jako vstupy)
Je-li v algebře definována vlastnost nějaké operace pomocí nějakého zákona (distributivní, asociativní, ...) pak má tato operace v podalgebře tuto vlastnost také.
Průnik podalgeber je také podalgebra
Podalgebra generovaná množinou 𝑆 (značíme 〈𝑆〉)
průnik všech podalgeber, které obsahují množinu S
S nazýváme systém generátorů
Cyklická grupa
∃𝑥∈𝐺:𝐺=〈𝑥〉
tj. existuje prvek, který generuje celou algebru.
Rozklad na třídy ekvivalence
Množinu M rozdělíme na podmnožiny (třídy ekvivalence) tak, že:
Jsou po dvou disjunktní (tj., žádné dvě množiny nemají společný prvek).
Jejich sjednocení tvoří původní množinu (tj. žádný prvek se neztratí).
Prvky každé podmnožiny jsou vzájemně ekvivalentní.
Rozklad na třídy ekvivalence
rozklad množiny 𝑀 je množina 𝑷⊆𝟐𝑴, pro níž platí:
∅∉𝑷,⋃𝑷=𝑴 a množiny v 𝑃 jsou po dvou rozdílné.
Třída ekvivalence prvku 𝑎 (značíme 𝒂𝝅)
je definována jako 𝒂𝝅={𝒃∈𝑴|𝒃𝝅𝒂}, kde 𝝅 je relace ekvivalence na 𝑴.
tj. podmnožina ve které jsou prvky ekvivalentní s 𝑎
Jelikož 𝜋 je relace ekvivalence, tak může být i kongruence (speciální případ relace ekvivalence)
Faktorová množina množiny 𝑀 podle 𝜋 (značíme 𝑀/𝜋)
je definována jako 𝑴/𝝅={𝒂𝝅|𝒂∈𝑴}. (𝑀/𝜋 je rozklad na třídy ekvivalence)
tj. množina všech tříd ekvivalence
Izomorfismy a homomorfismy
Homomorfismus
Je zobrazení jedné algebry na jinou algebru stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu
Přeznačení prvků množiny hodnot algebry f:A→A∗ (zobrazení jedné množiny hodnot na jinou).
Přeznačení operací (změní se symboly operací)
Pokud přeznačení provedeme před nebo po provedení operace dostáváme stejné výsledky (např.: 𝐟(𝐚+𝐛)=𝐟(𝐚)+𝐟(𝐛))
Typy homomorfismů
Izomorfismus - bijektivní zobrazení (jedna jednoznačnost)
Endomorfismus - zobrazuje se na stejnou množinu prvků
Automorfismus - izomorfismus + endomorfismus tj. zobrazení jeden na jeden do stejné množiny - jde tedy jen o přeházení prvků
Epimorfismus - surjektivní (každý prvek cílové množiny má alespoň jeden vzor)
zobrazuje algebru na její faktorovou algebru
Monomorfismus - injektivní (různé prvky mají různé obrazy, jeden obraz maximálně jeden vzor)
Jsou-li 𝑓 a 𝑔 izomorfismy pak je i 𝑓∘𝑔 izomorfismus.
Algebraické vlastnosti jsou takové vlastnosti, které zůstávají zachovány při izomorfismech
Každá grupa je izomorfní s nějakou grupou permutací
Kongruence a faktorové algebry
Kongruence je taková relace ekvivalence u které platí, že pokud jsou parametry operace ekvivalentní, jsou i výsledky ekvivalentní;
Kongruence je algebraický pojem označující ekvivalenci na algebře, která je slučitelná se všemi operacemi na této algebře 
(tedy například, pokud jsou tři páry prvků ekvivalentní a výsledky nějaké operace na těchto párech jsou také ekvivalentní, pak existuje pro tyto páry kongruence).
Kongruence
g1 ≡ g2 ∧ h1 ≡ h2 ⇒ g1 ★ h1 ≡ g2 ★ h2
★ je libovolná operace ve struktuře
≡ znamená kongruence
Pravá kongruence: g1 ≡ g2 ⇒ g1 ★ w ≡ g2 ★ w
Aby to vůbec mohla být kongruence, musí platit relace ekvivalence!
Symetrie: a ~ b ∧ b ~ a
Tranzitivita: a ~ b ∧ b ~ c ∧ c ~ a
From <[link]> 
Příklad
Ekvivalence kladných a záporných čísel je kongruence pro násobení. Platí: součin dvou kladných čísel je vždy kladné, součin dvou záporných je kladné, součin kladného i záporného je záporný
Idempotence
Idempotence je v matematice, zejména v abstraktní algebře, vlastnost algebraických operací či prvků nějaké algebry. Operace je idempotentní, pokud jejím opakovaným použitím na nějaký vstup vznikne stejný výstup, jako vznikne jediným použitím dané operace. Tato vlastnost se vyskytuje například v lineární algebře u projekcí, je to také jedna z definičních vlastností uzávěrového operátoru.
𝒑𝒓𝒐 𝒌𝒂ž𝒅é 𝒙: 𝒇𝒙=𝒇(𝒇(𝒙))
Příklady idempotence
A∪A=A
Pokud bychom tuto operaci opakovali, tak pořád dostaneme A
A∩A=A
To stejné v bleděmodrém :-)
Faktorová grupa
Faktorgrupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.
Faktoralgebra
Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence
Faktorová algebra je algebra odpovídající kongruenci (𝕬/ 𝝅=(𝕬/𝝅,𝝎𝒊*𝒊∈𝑰) je faktorová algebra algebry 𝔄 podle kongruence 𝜋.
prvky faktorové algebry jsou faktorovou množinou původní algebry
operace zachovávají kongruenci
faktorovou algebru algebry 𝑀 podle kongruence 𝜋 značíme 𝑀/𝜋
Přirozený homomorfismus
surjektivní homomorfismus, který zobrazuje algebru na její faktorovou algebru
faktorová algebra typických algeber je algebra stejného typu. Výjimkou je obor integrity u kterého to neplatí (0 dělá problémy, protože pro ni není definováno dělení).
každý homomorfní obraz algebry je izomorfní s nějakou faktorovou algebrou
Prostá algebra je algebra, která má jen triviální kongruence
Definice 2.3.1: Buďte X,Y množiny, f:X->Y zobrazení. Relaci k f:=f-1of nazýváme jádrem zobrazení f.
Věta 2.3.1: Nechť f:X->Y je zobrazení. Pak Ker f je ekvivalence.
Poznámka 2.3.1.1: Dva prvky x,y patřící do X jsou v relaci ker f na X, právě když mají stejný obraz, tj. když f(x) = f(y).
Poznámka 2.3.1.2: Rozkladu S = X/R se často říká faktorová množina příslušná ekvivalenci R.
Definice 2.3.2: Buď R podmnožina X×X ekvivalence na X. Zobrazení g:X->X/R přiřazující prvku x patřící do X třídu ekvivalence [x]R patří do X/R tj. g(x)=[x]R, říkáme přirozené či kanonické zobrazení.
Věta 2.3.2: Buď f:X->Y libovolné zobrazení (X do Y), g:X->X/kerf kanonické zobrazení. Pak existuje jediné zobrazení h:X/kerf->Y, že diagram
komutuje, tj. že f =hog, přičemž h je injektivní (a má stejný obor hodnot jako f). Speciálně, je-li f surjekce, je h bijektivní.
Definice 2.3.3: Buď R ekvivalence na A, (A,w1,w2,...wk) algebra nad operacemi w1,w2,...wk s četností n1,n2,...nk. Řekneme, že R je kongruence na A, jestliže pro každé i=1,2,...k a x1,x2,...xni, y1,y2,...yni platí indikace: x1Ry1 a zároveň x2Ry2 a ... a zároveň xniRyni => wi(x1,x2,...xni)Rwi(y1,y2,...yni).
Věta 2.3.3: Buď f morfismus algebry (A,a1,a2,...ak) do algebry (B,b1,b2,...bk). Pak je relace R=ker f kongruencí na A.
Definice 2.3.4: Buď (A,w1,w2,...wk) algebra a R kongruence na A. Pro libovolné i=1,2,...k a x1,x2,...xni patřící do A klademe wi([x1]R,[x2]R,...[xni]R):=[wi(x1,x2,...xni)]R. Jelikož R je kongruencí, je konkrétně definovaná nová algebra s nosnou množinou A/R a operacemi w1,w2,...wk. Tuto algebru ([file]) nazýváme faktorovou algebrou původní algebry A, příslušnou kongruenci R.
Věta 2.3.4: Buď f epimorfismus algebry (A,a1,a2,...ak) na algebru (B,b1,b2,...bk). Pak je faktorová algebra (A/ker f,a1,a2,...ak) izomorfní s algebrou (B,b1,b2,...bk).
From <[link]> 
Přímé součiny algeber
Přímý součin
lze provést pro 𝒏 algeber téhož typu
množina hodnot je kartézský součin množin hodnot jednotlivých algeber 𝑨 = 𝑨𝟏×𝑨𝟐×…×𝑨𝒏 (tj. hodnoty jsou n-tice, kde n-tý prvek je z množiny hodnot n-té algebry)
operace přímého součinu jsou definovány nad n-ticemi hodnot tak, že výsledek operace je n-tice výsledků příslušných operací jednotlivých algeber nad příslušnými prvky n-tic (n-tý prvek výsledku se rovná výsledku provedení příslušné operace n-té algebry nad n-tými prvky vstupu)
Příklad
Přímé součiny typických algeber (viz Algebraické struktury) jsou algebry stejného typu kromě oboru integrity, kde to neplatí, protože (0,1) * (1,0) = (0,0)
Normální podgrupa ℙ grupy (𝔾 ,⋅) je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí
V abstraktní algebře je normální podgrupa podgrupou, která je neměnná ve spojení se členy skupiny, které je součástí. Jinými slovy, podgrupa 𝑯 grupy 𝐺 je v 𝐺 normální jen potud, pokud 𝒈𝑯=𝑯𝒈 pro všechna 𝑔 v 𝐺.
Na Wiki ještě píší, že "Évariste Galois byl první, kdo si uvědomil význam existence normální podgrupy.". Já bužel význam takové kokotiny nechápu :-(
Ideály okruhů
Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.
Tak jako normální podgrupy jsou speciálními případy podgrup, jsou rovněž ideály jisté podokruhy daného okruhu.
Definice
Množina ∅≠𝐼⊆𝑅 , kde 𝑅 je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:
pro každé 𝑎,𝑏∈𝐼  je také 𝒂−𝒃∈𝑰 (tato podmínka jde nahradit podmínkou, že (I,+) je podgrupou (R,+), viz EN wiki)
pro každé 𝑎∈𝐼 a každé 𝑟∈𝑅 je také 𝒓⋅𝒂∈𝑰 resp. 𝒂⋅𝒓∈𝑰
Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.
Nechť (𝑅, +, •) je okruh, 𝑀 je libovolná podmnožina množiny 𝑅. Potom průnik všech ideálů v 𝑅, které obsahují množinu 𝑀, je ideál v 𝑅, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [𝑀]. Množina 𝑀 se nazývá systém generátorů ideálu [𝑀] a její prvky generátory tohoto ideálu.
Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.
Příklady
V každém okruhu 𝑅 jsou množiny {0} a 𝑅 ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v 𝑅. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
𝟔−𝟐∈ℤ%𝟐, protože prostě 2 je sudé a pokud odečteme sudé číslo od jiného sudého čísla, tak vždy dostaneme sudé číslo.
Hlavní ideál v teorii okruhů je takový ideál I v okruhu 𝑅, který lze generovat jediným prvkem 𝑎 z okruhu 𝑅.
TOTO JSOU NEUVĚŘITELNÉ A KARDINÁLNÍ SRAČKY A JÁ SE ODMÍTÁM TAKOVÉTO HOVADINY UČIT. K ČEMU TO PROBOHA JE?
Btw: nejhorší je, že oni toto fakt zkouší :-/
Notes
1. Otazka (předmět) (okruh): 3 - MAT - Algebraické metody - zaměření na grupy, svazy
Kdo me primarne zkousel: Holik
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli: 
Popsal jsem operace grupy, pak jsem měl vysvětlit vlastnosti: Uzavřenost, asociativita, nulový prvek, při tom jsem zmínil ty nižší algebry. Potom chtěl vědět, co kdyby byly v grupě dva nulové prvky. Než jsem pochopil, co chtěl, abych dokázal, tak řekl, že raději půjdeme dál. Dále jsem popsal svaz, uvedl jsem některé varianty a pak chtěl vědět pravidla, která ve svazech platí. Nemohl jsem si vzpomenout na význam pojmu idempotence, ale nakonec jsem se k ní dostal. Celkově jsem odpovídal nestrukturovaně a někdy zmatečně a svazy jsem neměl úplně naučené. Holik musel usměrňovat. K dokonalosti bych si to musel přeříkat, což jsem neudělal.
Znamka D.
From <[link]> 
2. Otazka (okruh): 10 . Faktorove algebry,kongruence
Kdo me primarne zkousel: Hruska
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli:
Chtel obecny pohled, tj. algebra , operace nad ni. Pak jaka tam musi platit relace (ekvivalence). Pak ze mam nejakou operaci, a velmi neformalne jsem mu na tabuli napsal, jak je definovana kongruence. Nasledne se zeptal na to, co je faktorova mnozina, jak vznikne, jak souvisi s faktorovou algebrou. Opet zadne formalismy, stacilo vysvetlit a odpovedet na jeho otazky (typu: je nasobeni kongruence, je scitani kongruence, uvest vlastni priklad kongruence...). B
From <[link]> 
1. Otazka (predmet) (okruh): MAT Algebraicke metody (podotazka kongruence)
Kdo me primarne zkousel: Češka Milan, prof. RNDr., CSc.
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli: Mal som preskocit vatu okolo a rovno prest k relacii kongruence, tak som zapisal formalny zapis na tabulu, na co prof. Ceska ma vyziadal nech moj zapis prevediem do infix notacie na vlastnom priklade. Tak som nadefinoval grupoid s jednou binarnou operaciou (A, kruzok) a prepisal pravu stranu implikacie z f(a,c) na a kruzok c. Potom sa ma pytal na tu samotnu relaciu ekvivalencie, rozklad na tried, z coho sa sklada faktorova algebra a aky je to morfizmus ked zobrazujeme algebru na jej faktorovu algebru - odpovedal som surjektivny homomorfizmus. Potom sme presli k zbytkovym triedam, kde som nadefinoval a = b mod n <=> n | (b-a) a ukazal Z4 ako budu vyzerat jednotlive triedy ekvivalencie. K tomu po mne chcel este zapisat formalny zapis [a]pi = { b | b pi a, kde b patri A). Aj ked budik zazvonil, jemne pretahoval cas ale nevadilo to - davalo to logiku dokoncit myslienku a prednes - potom povedal ze mu to staci. Nakoniec som z tejto otazky dostal za B, kazdopadne po vyhlaseni vysledkov a podani ruky predsed. komisie ma este prof. Ceska zastavil, nech idem k tabuli a ci si teraz v klude spomeniem co mi v tom formalnom zapise kongruencie chyba. Povedal som mu, ze mi tam chyba kvantifikator, ze to plati pre vsetky prvky z danej mnoziny. On mi podal ruku a povedal, ze to bol jediny dovod preco mi dal B. Mozno to tu v texte posobi neprijemne, ale prave naopak, usmieval sa pri tom a posobil velmi milo. Myslim si, ze za tie roky uz videli vselico a tak chapu ze stres ma velky vplyv na studenta.
From <[link]> 
1. Otazka (předmět) (okruh):
MAT, Homomorfizmus
Kdo me primarne zkousel:Ceska
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli:
4 minuty su fakt malo, ked sa clovek nevie vykoktat a dostane trosku blok. Opakoval som si definiciu den pred tym, ale mal som problem si na ten vzorec spomenut, nakoniec to nejak slo. Chcel vediet "konkretny" priklad takze nejaka operacia + na operaciu +*. Nebolo to zlozite, ale stres mi zahltil mozog. Ceska bol naozaj prijemny a pomahal. Prajem kazdemu, nech ho skusa Prof. Ceska, bolo na nich vidno, ze to chcu dat kazdemu. Nakoniec C.
From <[link]> 
1. Otazka (předmět) (okruh): Algebraické metody (podalgebry, homomorfismy)
Kdo me primarne zkousel: Šlapal (občas Češka něco řekl)
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli:
Přečetl jsem si otázky, které jsem dostal na dvou papírcích a vzal jsem si minutu na "oddych"... dělal jsem, že něco píšu na papír, ale jen tak jsem si bezmyšlenkovitě čmáral. Pak to začalo... ticho..resp. nikdo se mě na nic neptal, tak jsem začal sám s tím, co je algebra, ale jakmile jsem to napsal na tabuli, tak mě šlapal přerušil, že půjdeme rovnou na věc. Vysvětlil jsem mu, co je to podalgebra, pak přímo, co je to podgrupa (a jaké má podrugpa vlastnosti) a co musí platit (operace v podmnožinách jsou uzavřené). Jenže jemu to nestačilo vysvětlit, ale chtěl to všechno napsat na tabuli. Přesně jsem nechápal, co tedy na tu tabuli chce napsat, když jsem mu to řekl. Tak mi to upřesnil a řekl, že chce zápis té "uzavřenosti" pomocí predikátové logiky 
 ... Jakmile řekl predikátové logiky, tak mi naskočili první dvě státnicové otázky bez souvislosti s tím co chce a byl jsem v kelu 
 Nicméně Šlapal byl vytrvalý a chtěl vidět, že to umím, bez toho bychom se nehli dále.... Nakonec se mě k tomu snažil dostat přes různé okliky, stejně tak Češka a já se nakonec nějak rozpomněl, nebylo to těžké.. asi vliv stresu ... nevim, proč to tak hrotil:) Úplně stejně probíhal homorfismus, řekl jsem mu, co to přesně je (definici), něco jako f(x+y) = f(x) * f(y) z rychlíku s vysvětlením principu mu nestačilo. Nadiktoval mi grupu, pak ještě jednu a chtěl, to ukázat na tabuli, pro všechny jejich operace... binární, unární, nulové... Tím, že jsme hráli na jeho hřišti (neukazoval jsem mu to na grupě, kde jsem to hezky uměl a z které jsem se to naučil), tak to bylo delší a zmatené... Nakonec jsme snad 20min. probírali podrobně jen tyto dvě věci. To všechno jsem nějak odvodil ale museli mě občas nakopnout a mít HODNĚ trpělivosti => D
From <[link]> 
Kdo me primarne zkousel: Ceska
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli: fail fail fail, vsetko som to chapal a nedokazal to zo seba vyklopit, ked sa ceskovi nepodarili zo mna dostat teoriu tak sa zacal pytat na konkretne pripady algebier a homomorfizmov, velmi pomahal a bol prijemny a slusny, zachranila ma diplomka a dostal som za D, inak by som mal urcite E
From <[link]> 
2. Otazka (okruh): 14. - konkretne je zajimala pouze (!!!) "kongruence a faktorove algebry"
Kdo me primarne zkousel: Ceska Milan
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli: 
Ceska sel po konkretnich vecech. Obecna (a nutno priznat, ze asi povrchni) znalost kongruence nestacila a chtel toho vedet podstatne vice - vzorce, definice, souvislosti, priklady, kongruence zbytkovych trid ... Asi jen diky tomu, ze jsem fakt dobre znal zaklady, tak me nevyhodil.
From <[link]> 