07 - Metrické prostory
pátek 13. května 2016
9:51
Metrické prostory (příklady, konvergence posloupností, spojitá a izometrická zobrazení, úplnost, Banachova věta o pevném bodu).
[link]
Metrický prostor
Metrický prostor je matematická struktura, pomocí které lze formálním způsobem definovat pojem vzdálenosti. Na metrických prostorech se poté definují další topologické vlastnosti jako např. otevřenost a uzavřenost množin, jejichž zobecnění pak vede na ještě abstraktnější matematický pojem topologického prostoru.

Definice metrického prostoru
Metrický prostor je dvojice (𝑿, 𝝔), 𝑘𝑑𝑒 𝑋 je libovolná neprázdná množina a 𝜌 ("rho") je tzv. metrika, což je zobrazení
Je to prostě funkce vzdálenosti, která definovaná pro všechny dvojice bodů x,y∈X
Axiomy metrického prostoru
Axiom nezápornosti: 𝜚𝑥, 𝑦≥0 
Axiom totožnosti: 𝜚𝑥, 𝑦=0⟺𝑥 = 𝑦 
Trojúhelníková nerovnost: 𝜚𝑥, 𝑧≤𝜚(𝑥, 𝑦) +𝜚(𝑦, 𝑧)
Příklady metrických prostorů
Prostor izolovaných bodů (diskrétní)
X - libovolná neprázdná množina
ϱx,y=0   𝑝𝑜𝑘𝑢𝑑 𝑥=𝑦1   𝑝𝑜𝑘𝑢𝑑 𝑥≠𝑦
Když jsou body identické vzdálenost je 0, když nejsou, vzdálenost je 1).
Metrický prostor R1 (1-rozměrný)
X=ℝ
Úplný metrický prostor je metrický prostor, v němž každá cauchyovská posloupnost je konvergentní. Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
Dále uvažujeme označení 𝜒 = 𝑋, 𝜚
𝜒 ("chi")
Cauchyovská (neboli fundamentální) posloupnost xn (Cauchy se čte koši, byl to Francouz)
členy posloupnosti se k sobě čím dál více blíží na libovolně malou vzálenost
(tj. pro libovolně malou vzdálenost ε lze najít místo v posloupnosti od kterého dále jsou každé dva body posloupnosti k sobě blíže než ε)
pozn. pro představu: máme metrický prostor izolovaných bodů (tj. když jsou body identické vzdálenost je 0, když nejsou, vzdálenost je 1). V tomto prostoru je postupnost bodů Cauchyovská jedině když se od určitého indexu opakuje jeden bod.
Príklad postupnosti: ABBADCDDDDDDD --> ε zvolíme např. 1 (co nejmenší), potom existuje N(ε) (v tomto případě 7 (index členu)), od kterého bude pro všechny vyšší indexy 𝑚 a 𝑛 platit, že body s těmito indexy budou mít menší vzdálenost než ε (v tomto případě 0).
Cauchyovská ["košiovská"] posloupnost
Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.
Definice Cauchyovské poslopnosti
V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost (𝑥1, 𝑥2, …) cauchyovská, pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:
Tedy od určitého bodu se k sobě členy posloupnosti blíží čím dál více na libovolně malou vzdálenost.
Příklady
Harmonická posloupnost 𝟏𝐧 je cauchyovská.
Konvergence posloupností
Posloupnost (x1,x2,x3,...,xn) v metrickém prostoru 𝑀
Konvergence posloupnosti
posloupnost konverguje k bodu x∈M jestliže každé okolí bodu 𝑥 obsahuje všechny body posloupnosti od nějakého indexu výše
tj. pokud se body posloupnosti se zvyšujícími indexy čím dál víc blíží k bodu 𝒙 (nebo se alespoň nevzdalují)
pokud posloupnost konverguje k 𝑋 pak libovolná pod-posloupnost vybraná z této posloupnosti také konverguje k 𝑥
Limita posloupnosti
Limita posloupnosti je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita.
Posloupnost {𝑥𝑛} konverguje k bodu 𝒙, jestliže 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝝔𝒙,𝒙𝒏=𝟎
Pojem limity posloupnosti lze definovat na libovolném metrickém prostoru.
Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Banachův princip pevného bodu
Aneb věta o kontrakci.
Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.
Proč se tímto vůbec zabýváme? Protože řadu problémů souvisejících s jednoznačností řešení rovnic lze převést na otázku existence a jednoznačnosti pevného bodu nějakého zobrazení metrických prostorů.
Jako pevný bod označujeme bod, který se v daném zobrazení zobrazí sám na sebe. Označuje se také jako samodružný bod.
Například pevnými body funkce 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+6, jsou čísla 2 a 3.
Definice pevného bodu
Nechť 𝑓:𝑀→𝑀 je zobrazení. Prvek 𝑥∈𝑀 nazveme pevným bodem zobrazení 𝑓, pokud 𝒇(𝒙)=𝒙.
Příklad
Někdy je výhodné rovnici 𝑓(𝑥)=0 přepsat do tvaru 𝑔𝑥=𝑥 a hledat tedy bod, který se při zobrazení funkcí 𝑔(𝑥) zobrazí sám na sebe. Například rovnici: 
𝑐𝑜𝑠(𝑥)−𝑥=0
můžeme přepsat do tvaru:
𝑐𝑜𝑠(𝑥)=𝑥
Problém najít bod, ve kterém funkce 𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠(𝑥)−𝑥 protíná osu 𝑥 se tím modifikuje na problém najít bod, který se po aplikaci funkce 𝑔𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑥 zobrazí sám na sebe.
Kontraktivní zobrazení (kontrakce)
Kontraktivní zobrazení je takové zobrazení, kde vzdálenost obrazů je menší než vzdálenost vzorů.
Pokud (𝑃,𝑑) a (𝑄,𝑔) jsou metrické prostory a pro zobrazení 𝑓:𝑃→𝑄 existuje číslo 𝛼∈(0,1) takové, že pro všechny 𝑥,𝑦∈𝑃 platí 𝒈𝒇𝒙,𝒇(𝒚)≤𝜶𝒅(𝒙,𝒚), pak zobrazení 𝑓 nazveme kontrakcí.
každé kontraktivní zobrazení je spojité
Zobrazení spojité v bodě x0∈X
Když mají dva body nenulovou vzdálenost, tak i po zobrazení do jiného prostoru budou mít stále nenulovou vzdálenost
zobrazení spojité ve všech bodech
Homeomorfismus (homeomorfní zobrazení)
Homeomorfismus je vzájemně jednoznačné zobrazení mezi topologickými prostory, které zachovává topologické vlastnosti. Homeomorfismus je tedy jiný název pro izomorfismus topologických prostorů.
Homeomorfní prostory - metrické prostory mezi nimiž existuje homeomorfní zobrazení.
Izometrické zobrazení
Speciální případ homeomorfismu ve kterém se vzdálenost vzorů rovná vzdálenosti obrazů.
Izometrické prostory - prostory jsou navzájem izometrické pokud mezi nimi existuje izometrické zobrazení.
Izometrické prostory lze považovat za totožné - liší se jen kvalita elementů.
Notes
2. Otazka (predmet) (okruh): 3. Metrické prostory (podtržena Banachova věta nebo něco s ním)
Kdo me primarne zkousel: Vojnar
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli:
No a věděl jsem, že tohle bude boj... Navíc Vojnar řekl že chce jen shrnout metrické prostory a pak se budeme věnovat tomu Banachovi. Kromě definice metrického prostoru jsem upřímně nic moc neřekl, moc sem si zbytek nepamatoval, v hlavě mi lítaly nějaké eps-okolí a limity a konvergence, ale nic smysluplného, natož formálního, ale snažil sem se usmívat a dělat že aspoň malinko tuším. Pak nastala trapná situace když se mi VOjnar snažil hodně pomoct, vysvětlil mi zhruba princip Banacha a řekl že to je nějaká kontrakční funkce nebo co - chtěl to se mnou rozebrat, ale nevěděl sem, tak se mě ptal co to znamená kontrakce v češtině... v nervech a s krůpějemi potu na čele sem nevěděl, což komisi pobavilo (došlo mi to až pak), tak po asi 3 minutách snah ze mě něco vytáhnout mě poslali pryč... Vydřená E, velmi oprávněně, ale nevím jestli by se za tohle dalo/mělo vyhazovat - nechám na čtenářích. 
From <[link]> 
1. Otazka (predmet) (okruh): 7. Metrické prostory - Banachova věta (MAT)
Kdo me primarne zkousel: Vojnaro
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli:
Věděl jsem, že Vojnar tuto otázku rád zkouší a tak jsem si ji prošel abych všemu rozuměl. Chtěl abych nejdřív řekl Banachův princip pevného bodu, potom se ptal na jednotlivé části té věty. Co znamená ta úplnost (každá Cauchyovská posloupnost konverguje), jaká má Cauchyovská posloupnost vztah k té konvergenci (to jsem moc nevěděl, tak jsem se snažil říct, že je to velice podobné té definici konvergence k bodu, načež mi řekl že jak se v Cauchyovské posloupnosti k sobě ty body přibližují tak to vlastně znamená konvergenci), co je to pevný bod, taky se mě ptal na aplikaci té věty (řekl jsem že podle toho můžeme dokazovat určité vlastnosti, ale asi čekal něco konkrétnějšího). Potom řekl, že přeskočí do jiného předmětu, ale vzhledem k tomu že jsem zatím odpovídal rozumné tak si to snad může dovolit. Samozřejmě se začal ptát na jeho předmět FAV a využití pevných bodů, ve kterých větách se vyskytly. Tak jsem řekl že Knaster-Tarski a Kleene fixpoint theorem. Potom se zeptal na Knaster-Tarski, což jsem mu zodpověděl a bylo po zkoušení.
From <[link]> 
2. Otazka (předmět) (okruh): 7. Metrické prostory (úplnost, Banachova věta o pevném bodu). 
Kdo me primarne zkousel: Vojnar Tomáš, prof. Ing., Ph.D.
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli:
Mal som tú otázku presne takto na papieriku napísanú, tak som sa ho spýtal, či sa mám naozaj zamerať len na úplnosť a Banachovu vetu. Vraj ak viem tak áno. Za tú minútu na prípravu som si teda stihol napísať na papier, čo je to kontrakcia, aby som to potom pri odpovedi aj tak zle prečítal 
 No o úplnosti som toho veľa nevedel. Hovoril som niečo o konvergujúcej a Cauchyovskej postupnosti, ale bol som z toho veľmi mimo. Bola to hotová tragédia. Potom naštastie som tú Banachovu vetu povedal celkom ok, opäť som, ale nevedel na čo sa vlastne používa.
Nakoniec mi teda dal asi z ľútosti napísať na tabuľu metrické priestory, definíciu a 3 vlastnosti, ktoré patria pre tieto funkcie + ešte funkciu Euklidovského priestoru. Toto som naštastie vedel a napísal som to všetko správne tak ma poslali von. 
From <[link]> 
2. Otazka (předmět) (okruh): (MAT) Metrické prostory (příklady, konvergence posloupností, spojitá a izometrická zobrazení, úplnost, Banachova věta o pevném bodu)
Kdo me primarne zkousel: Vojnar Tomáš, prof. Ing., Ph.D.
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli:
K otázce mi bylo explicitně řečeno, že se nemám zabývat obecnými vlastnostmi metrických prostorů, ale že mám svůj výklad soustředit k Banachovu principu pevného bodu. Jelikož jsem nechtěl tak z ničeho začít konvergencí posloupností, tak jsem stejně začal, že metrické prostory mají nějakou tu metriku, načež mi profesor Vojnar řekl, že když už jsem do toho šlápl, tak ať mu ty vlastnosti metriky popíšu. V to jsem tak trochu doufal, takže minutka za mnou. Pak jsem přešel ke konvergentním a Cauchyovským posloupnostem. Nebylo třeba psát žádné vzorce, jen lidsky popsat princip, Vojnar velice pomáhal, u BPPB jsem zapomněl dodefinovat kontraktivní zobrazení, na což jsem byl mile upozorněn, zkrátka k této fázi zkoušky nemám co dodat, pěkně jsme si popovídali, skončil jsem zněním BPPB, na co se používá a jak se počítá metodou postupných aproximací a byl jsem propuštěn.
From <[link]> 
1. Otazka (okruh):
Metricke Prostory
Kdo me primarne zkousel:Vojnar
Co jsem k tomu rekl(a)/na co se ptali/co mne vytkli:
tak metricke prostory by som vedel vymenovat, no chcel odomna 3 zakladne vzorce k metrickym prostorom. prve dve sme spolu odvodili ale ten treti sa nepodarilo 
From <[link]> 